Problema 1095

Sea π el plano de ecuación x+y+z=1, sea r la recta de ecuaciones paramétricas \{x=1,~y=t,~z=t\} y sea P el punto (1,1,0).

a) Hallar la ecuación del plano perpendicular a r y que contenga a P.
b) Hallar el punto simétrico de P respecto al plano π.


Solución:

a) Escribimos la recta r en vectorial:

r\equiv~(x,y,z)=(1,0,0)+t(0,1,1)

Un plano perpendicular a r se escribe en forma implícita:

0x+1y+1z=D~;\\\\y+z=D

Sustituimos las coordenadas de P en la ecuación de este plano:

1+0=D

de donde obtenemos D=1, y la ecuación del plano buscado es:

\boxed{y+z=1}


b) Dado el plano \pi:~x+y+z=1, cuyo vector normal es \vec n_\pi=(1,1,1), construimos una recta s perpendicular a π que pase por P(1,1,0):

s:~(x,y,z)=(1,1,0)+\lambda(1,1,1)

o en parametricas s:~\{x=1+\lambda,~y=1+\lambda,~z=\lambda\}.
Calculamos el punto de intersección de π con s y lo llamamos M (sustituimos las paramétricas de s en la implícita de π y resolvemos):

(1+\lambda)+(1+\lambda)+\lambda=1~;\\\\3\lambda=-1~;\\\\\lambda=\dfrac{-1}3

Sustituyendo en las paramétricas de s, M=(\frac23,\frac23,\frac{-1}3).

p120

El punto M es el punto medio entre P y P‘, luego:

M=\dfrac{P+P'}2~;\\\\P'=2M-P~;\\\\P'=2\left(\dfrac23,\dfrac23,\dfrac{-1}3\right)-(1,1,0)=\boxed{\left(\frac13,\frac13,\frac{-2}3\right)}

PV-MII-E-18-2A

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