Problema 1096

Dada la función f(x)=x^2e^{-x} estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y la existencia de máximos, mínimos y asíntotas.


Solución:

Para estudiar la monotonía de f, comenzamos calculando sus puntos críticos sabiendo que el dominio de f es todo \mathbb R.

f'(x)=2xe^{-x}-x^2e^{-x}=xe^{-x}(2-x)=0

Ecuación cuyas soluciones son x=0 y x=2. Con estos dos puntos críticos y teniendo en cuenta el dominio de f estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,0)&(0,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+&-\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

  • f crece en (0,2)
  • f decrece en (-\infty,0)\cup(2,+\infty)
  • f presenta un mínimo en (0,f(0))=(0,0)
  • f presenta un máximo en (2,f(2))=(2,4e^{-2})

En cuanto a las asíntotas:

  • Asíntota vertical no tiene dado que el dominio es todo \mathbb R siendo la función continua en todo el dominio.
  • Asíntota horizontal:
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}x^2e^{-x}=+\infty\cdot0=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2}{e^x}=\dfrac{\infty}{\infty}\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{2x}{e^x}=\dfrac{\infty}{\infty}=\\\\\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac2{e^x}=\dfrac2{+\infty}=0\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2e^{-x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}(-x)^2e^x=\lim_{x\rightarrow+\infty}x^2e^x=+\infty
    Luego, f tiene asíntota horizontal y=0 cuando x→+∞.
  • Asíntota oblicua (y=mx+n):
    \displaystyle\bullet~m=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x^2e^{-x}}x=\lim_{x\rightarrow-\infty}xe^{-x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}-xe^x=(-\infty)\cdot(+\infty)=-\infty
    f no tiene asíntota oblicua.

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