Problema 1097

Calcular la siguiente integral indefinida

$\displaystyle\int x^2e^{-3x}~dx$

Solución:

Utilizamos el método de integración por partes:

$\boxed{\int u~dv=u\cdot v-\int v~du}$

En nuestro caso:

$\begin{array}{ll}u=x^2&\rightarrow du=2x~dx\\dv=e^{-3x}~dx&\rightarrow v=\frac{-1}3e^{-3x}~dx\end{array}$

Luego:

$\displaystyle I=\int x^2e^{-3x}~dx=\dfrac{-x^2e^{-3x}}3+\dfrac23\int xe^{-3x}~dx$

Esta última integral también la resolvemos por partes:

$\begin{array}{ll}u=x&\rightarrow du=dx\\dv=e^{-3x}~dx&\rightarrow v=\frac{-1}3e^{-3x}\end{array}$

Luego:

$\displaystyle I=\dfrac{-x^2e^{-3x}}3+\dfrac23\left[\dfrac{-xe^{-3x}}3+\dfrac13\int e^{-3x}~dx\right]=\\\\=\dfrac{-x^2e^{-3x}}3-\dfrac{2xe^{-3x}}9-\dfrac{2e^{-3x}}{27}+k=\\\\=-e^{-3x}\left(\dfrac{9x^2+6x+2}{27}\right)+k$

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Problema 1097

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