Problema 1098

Calcular el área máxima que puede tener un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 8.


Solución:

Dado un triángulo rectángulo de lados a, b y c:

p153

donde la hipotenusa a mide 8. Nos piden maximizar el área.
Sabemos que el área de un triángulo rectángulo es el producto de sus catetos dividido entre 2:

A(b,c)=\dfrac{b\cdot c}2

En un triángulo rectángulo se cumple el teorema de Pitágoras:

8^2=b^2+c^2

de donde:

c=\sqrt{64-b^2}

Los catetos toma valores comprendidos en el intervalo [0,8].
Sustituimos en la expresión del área:

A(b)=\dfrac{b\sqrt{64-b^2}}2=\dfrac{\sqrt{64b^2-b^4}}2

Calculamos los puntos críticos de la función área:

A'(b)=\dfrac12\cdot\dfrac{128b-4b^3}{2\sqrt{64b^2-b^4}}=0~;\\\\128b-4b^3=0~;\\\\4b(32-b^2)=0

Ecuación cuyas soluciones son b=0\text{ y }b=\pm4\sqrt2. Descartamos el resultado negativo.
Caracterizamos los puntos críticos utilizando la tabla de monotonía de A:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,4\sqrt2)&(4\sqrt2,8)\\\hline\mbox{Signo }A'(b)&+&-\\\hline \mbox{Monoton\'ia }A(b)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

Tenemos un máximo para la función área con b=4\sqrt2. Nos queda calcular el valor del otro cateto:

c=\sqrt{64-(4\sqrt2)^2}=\sqrt{32}=4\sqrt2

Luego, el triángulo rectángulo con hipotenusa 8 con área máxima es un triángulo isósceles de catetos 4\sqrt2 u.l.
El valor del área es:

A=\dfrac{4\sqrt2\cdot4\sqrt2}2=\boxed{16\text{ u.a.}}

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