Problema 1098

Calcular el área máxima que puede tener un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 8.


Solución:

Dado un triángulo rectángulo de lados a, b y c:

donde la hipotenusa a mide 8. Nos piden maximizar el área.
Sabemos que el área de un triángulo rectángulo es el producto de sus catetos dividido entre 2:

En un triángulo rectángulo se cumple el teorema de Pitágoras:

de donde:

Los catetos toma valores comprendidos en el intervalo [0,8].
Sustituimos en la expresión del área:

Calculamos los puntos críticos de la función área:

Ecuación cuyas soluciones son . Descartamos el resultado negativo.
Caracterizamos los puntos críticos utilizando la tabla de monotonía de A:

Tenemos un máximo para la función área con . Nos queda calcular el valor del otro cateto:

Luego, el triángulo rectángulo con hipotenusa 8 con área máxima es un triángulo isósceles de catetos u.l.
El valor del área es:

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