Problema 1099

a) Discutir el siguiente sistema S(a) en función de a

S(a)=\left\{\begin{array}{rl}x+ay-z&=2\\2x+y+az&=0\\3x+(a+1)y-z&=a-1\end{array}\right.

b) ¿Hay solución para a=1? En caso afirmativo calcular dicha solución. En caso negativo razonar la respuesta.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}1&a&-1\\2&1&a\\3&a+1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\a-1\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M utilizando determinantes:

\begin{vmatrix}1&a&-1\\2&1&a\\3&a+1&-1\end{vmatrix}=-1+3a^2-2(a+1)+3+2a-a(a+1)=\\\\=-1+3a^2-2a-2+3+2a-a^2-a=\\\\=2a^2-a=a(2a-1)=0

Ecuación cuyas soluciones son a=0 y a=1/2, luego:

  • Si a\neq0\text{ y }a\neq\frac12 entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si a=0, entonces M=\begin{pmatrix}1&0&-1\\2&1&0\\3&1&-1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&0\\2&1\end{vmatrix}=1\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M*:
    \begin{vmatrix}1&0&2\\2&1&0\\3&1&-1\end{vmatrix}=-1+4-6=-3\neq0
    Luego el rango de la matriz ampliada es 3 y el sistema es incompatible.
  • Si a=1/2, entonces M=\begin{pmatrix}1&\frac12&-1\\2&1&\frac12\\3&\frac32&-1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&-1\\3&-1\end{vmatrix}-1+3=2\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada.
    \begin{vmatrix}1&-1&2\\2&\frac12&0\\3&-1&-\frac12\end{vmatrix}=-\dfrac14-4-3-1=-\dfrac{33}4\neq0
    Luego el rango de M* es 3 y el sistema es incompatible.

b) Para el caso a=1 el sistema es compatible determinado, como se vio en el apartado anterior.
Resolvemos el sistema para a=1 utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}2&1&-1\\0&1&1\\0&2&-1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&-1\\2&1&1\\3&2&-1\end{vmatrix}}=\dfrac{-2-4}{1\cdot(2\cdot1-1)}=\dfrac{-6}1=-6

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&2&-1\\2&0&1\\3&0&-1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&-1\\2&1&1\\3&2&-1\end{vmatrix}}=\dfrac{6+4}{1}=10

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&2\\2&1&0\\3&2&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&-1\\2&1&1\\3&2&-1\end{vmatrix}}=\dfrac{8-6}{1}=2

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