Problema 1100

Determinar el punto simétrico de P(-3,1,-7) respecto a la recta r de ecuaciones paramétricas \{x=-1+t,~y=3+2t,~z=-1+2t\}.


Solución:

Dada la recta r cuyo vector director es \vec v_r=(1,2,2), construimos un plano π que pase por P y sea perpendicular a r. Dicho plano π tiene la forma:

\pi:~x+2y+2z=D

Sustituimos las coordenadas de P en la implícita de π para obtener D:

-3+2\cdot1+2\cdot(-7)=D~;\\-3+2-14=D~;\\-15=D

Luego el plano π es x+2y+2z=-15.

p52

Calculamos el punto M donde se cortan el plano π y la recta r sustituyendo las paramétricas de r en la implícita de π y resolviendo:

(-1+t)+2(3+2t)+2(-1+2t)=-15~;\\\\9t+3=-15~;\\\\9t=-18~;\\\\t=-2

Sustituimos t=-2 en las paramétricas de r y obtenemos el punto M:

M=(-3,-1,-5)

Y utilizando la fórmula del punto medio calculamos el simétrico de P con respecto de la recta r, P‘:

M=\dfrac{P+P'}2~;\\\\P'=2M-P~;\\\\P'=2(-3,-1,-5)-(-3,1,-7)=\boxed{(-3,-3,-3)}

PV-MII-E-18-2B

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