Problema 1101

De la función f(x)=x^3+Ax^2+Bx+C se sabe que su gráfica pasa por el punto (1,0) y que tiene un extremo en x=0 de valor 1.

a) Hallar A, B y C.
b) ¿El extremo situado en el punto x=0 es máximo o es mínimo?


Solución:

a) Sabemos que la gráfica de fpasa por el punto (1,0):

\bullet~f(1)=0

y que tiene un extremo en x=0 de valor 1:

\bullet~f(0)=1\\\bullet~f'(0)=0

Con estas tres ecuaciones construimos un sistema:

\bullet~f(1)=1^3+A\cdot1^2+B\cdot1+C=1+A+B+C=0\\\bullet~f(0)=C=1\\\bullet~f'(x)=3x^2+2Ax+B~\rightarrow f'(0)=B=0

\left\{\begin{array}{rl}A+B+C&=-1\\C&=1\\B&=0\end{array}\right.

Sistema cuya solución es C=1, B=0, A=-2.


b) Con los valores calculados anteriormente resulta que f(x)=x^3-2x^2+1.
En x=0 sabemos que hay un extremo. Caracterizamos dicho extremo utilizando el test de la derivada segunda:

f'(x)=3x^2-4x~;\\\\f''(x)=6x-4~;\\\\f''(0)=-4<0

Luego, según el test, la función f alcanza un máximo en x=0.

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