Problema 1102

La curva y=4x^2 y la curva y=4x-x^2 delimitan un recinto finito del plano. Dibujar dicho recinto y calcular su área.


Solución:

Se trata de dos funciones elementales, dos funciones cuadráticas cuyas gráficas son dos parábolas.
La función y=4x^2 es una parábola convexa cuyo vértice está en (0,0) y que pasa por los puntos (1,4) y (-1,4).
La función y=4x-x^2=x(4-x) es una parábola cóncava cuyo vértice está en:

x_v=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-4}{-2}=2\\y_v=8-(-2)^2=4

y corta al eje x en los puntos (0,0) y (4,0).

p1102

Para calcular el área encerrada por ambas parábolas, primero calculamos donde se cortan:

4x^2=4x-x^2~;\\\\5x^2-4x=0~;\\\\x(5x-4)=0

Ecuación cuyas soluciones son x=0, x=\frac45=0.8.
El área S encerrada por ambas funciones es:

\displaystyle S=\int_0^{0.8}(4x-x^2)-(4x^2)~dx=\int_0^{0.8}4x-5x^2~dx=\\\\=\left[2x^2-\dfrac{5x^3}3\right]_0^{0.8}=\left(2\cdot0.8^2-\dfrac{5\cdot0.8^3}3\right)-0=\\\\=1.28-\dfrac{2.56}3=\dfrac{1.28}3\approx0.4267\text{ u.a.}

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