Problema 1104

Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro m. (NO es necesario
resolverlo)

\left\{\begin{array}{rl}2x+y-z&=1\\x+my+z&=2\\3x+y-mz&=3\end{array}\right.


Solución:

Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}2&1&-1\\1&m&1\\3&1&-m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M utilizando determinantes:

\begin{vmatrix}2&1&-1\\1&m&1\\3&1&-m\end{vmatrix}=-2m^2+3-1+3m+m-2=\\\\=-2m^2+4m=2m(-m+2)=0

Ecuación cuyas soluciones son m=0 y m=2, luego:

  • Si m≠0 y m≠2, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si m=0 entonces M=\begin{pmatrix}2&1&-1\\1&0&1\\3&1&0\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que el menor \begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}=-1\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}1&-1&1\\0&1&2\\1&0&3\end{vmatrix}=3-2-1=0
    Luego, el rango de la matriz ampliada es 2, y el sistema es compatible indeterminado.
  • Si m=2 entonces M=\begin{pmatrix}2&1&-1\\1&2&1\\3&1&-2\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que el menor \begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}=4-1=3\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}2&1&1\\1&2&2\\3&1&3\end{vmatrix}=12+6+1-6-3-4=6\neq0
    Luego, el rango de la matriz ampliada es 3, y el sistema es incompatible.

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