Problema 1105

Dado el punto P(1,-3, 7), obtener su simétrico respecto a la recta que pasa por los
puntos A(1,-3, 4) y B( 0,-4, 1).


Solución:

Calculamos el vector director de la recta que pasa por A y B:

\vec v=\overrightarrow{AB}=(0,-4,1)-(1,-3,4)~;\\\\\vec v=(-1,-1,-3)

Escribimos la recta en forma vectorial:

(x,y,z)=(1,-3,4)+\lambda(-1,-1,-3)

Construimos un plano perpendicular a dicha recta:

-x-y-3z+D=0

Dicho plano tiene que pasar por el punto P:

-1-(-3)-3\cdot7+D=0~;\\\\-1+3-21+D=0~;\\\\D=19

El plano es x+y+3z-19=0.
Calculamos el punto M donde se corta la recta con el plano sustituyendo las paramétricas de la recta r en la implícita del plano:

p52

r:~(x,y,z)=(1-\lambda,-3-\lambda,4-3\lambda)

(1-\lambda)+(-3-\lambda)+3(4-3\lambda)-19=0~;\\\\-9-11\lambda=0~;\\\\\lambda=\dfrac{-9}{11}

Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de la recta obtenemos las coordenadas de M:

M=\left(\dfrac{20}{11},\dfrac{-24}{11},\dfrac{71}{11}\right)

El punto M es el punto medio entre P y su simétrico P’, luego:

M=\dfrac{P+P'}2~;\\\\P'=2M-P~;\\\\P'=\left(\dfrac{40}{11},\dfrac{-48}{11},\dfrac{142}{11}\right)-(1,-3,7)~;\\\\\boxed{P'=\left(\dfrac{29}{11},\dfrac{-15}{11},\dfrac{65}{11}\right)}

PV-MII-O-17-2A

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