Problema 1106

Dada la función f(x)=x^4+Ax^3+Bx^2+Cx+7

a) Calcula A, B, y C sabiendo que su recta tangente en el punto de abscisa x = 0 es horizontal, que además la función tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = 2 y que corta al eje OX en x =1.
b) Para los valores obtenidos calcula los máximos y los mínimos de la función.


Solución:

a) Sabemos que la recta tangente en el punto de abscisa x=0 es horizontal:

\bullet~f'(0)=0

Tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x=2:

\bullet~f'(2)=0

Corta al eje OX en x=1:

\bullet~f(1)=0

Calculamos la derivada de f:

f'(x)=4x^3+3Ax^2+2Bx+C

luego:

\bullet~f'(0)=C=0\\\bullet~f'(2)=32+12A+4B+C=0\\\bullet~f(1)=1+A+B+C+7=A+B+C+8=0

Formamos un sistema de ecuaciones:

\left\{\begin{array}{rl}C&=0\\12A+4B+C&=-32\\A+B+C&=-8\end{array}\right.

Sustituyendo C=0 en las otras dos ecuaciones:

\left\{\begin{array}{rl}12A+4B&=-32\\A+B&=-8\end{array}\right.

Sistema cuya solución es C=0, A=0, B=-8.


b) Para los valores obtenidos tenemos

f'(x)=4x^3-16x~;\\\\f'(x)=4x(x^2-4)

Calculamos los puntos críticos de f:

4x(x^2-4)=0

ecuación cuyas soluciones son x=0,~x=\pm2.
Caracterizamos estos puntos críticos utilizando el test de la derivada segunda:

f''(x)=12x^2-16~;\\\\f''(0)=-16<0\rightarrow\text{m\'aximo}\\f''(2)=32>0\rightarrow\text{m\'inimo}\\f''(-2)=32>0\rightarrow\text{m\'inimo}

Calculamos ambas coordenadas de estos puntos siendo f(x)=x^4-8x^2+7:

\bullet~(0,f(0))=(0,7)\rightarrow\text{m\'aximo}\\\bullet~(2,f(2))=(2,-9)\rightarrow\text{m\'inimo}\\\bullet~(-2,f(-2))=(-2,-9)\rightarrow\text{m\'inimo}

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