Problema 1107

Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Selectividad Mat II, ,

La curva y=\frac12x^2 divide al rectángulo A(0,0), B(0, 2), C( 4,2) , D(4, 0) en dos recintos.

a) Dibuja la gráfica de la función y el rectángulo ABCD.
b) Calcula el área de cada uno de los recintos.

Solución:

a) La función y=\dfrac{x^2}2 corresponde a una parábola cónvexa cuyo vértice están en el punto (0,0) y que pasa por los puntos (2,2) y (-2,2).

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b) La parábola y el rectángulo se cortan en el punto (0,0) y en un punto del segmento BC, segmento que pertenece a la recta y=2. Calculamos la abscisa de dicho punto de corte igualando ambas funciones y resolviendo:

\dfrac{x^2}2=2~;\\\\x^2=4~;\\\\x=\pm2

descartamos el resultado negativo y resulta que la parábola y el rectángulo se cortan en x=2.
El área del rectángulo completo A_I+A_{II} es:

4\cdot2=8\text{ u.a.}

Calculamos el área A_I utilizando el cálculo integral:

\displaystyle A_I=\int_0^22-\dfrac{x^2}2~dx=\dfrac12\int_0^24-x^2~dx=\\\\=\dfrac12\left[4x-\dfrac{x^3}3\right]_0^2=\\\\=\dfrac12\left(8-\dfrac83\right)-\dfrac12(0)~;\\\\\boxed{A_I=\dfrac83\text{ u.a.}}

Dado que A_I+A_{II}=8 entonces:

A_{II}=8-\dfrac83=\boxed{\dfrac{16}3\text{ u.a.}}

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