Problema 1107

La curva $y=\frac12x^2$ divide al rectángulo A(0,0), B(0, 2), C( 4,2) , D(4, 0) en dos recintos.

a) Dibuja la gráfica de la función y el rectángulo ABCD.
b) Calcula el área de cada uno de los recintos.

Solución:

a) La función $y=\dfrac{x^2}2$ corresponde a una parábola cónvexa cuyo vértice están en el punto (0,0) y que pasa por los puntos (2,2) y (-2,2).

p1107

b) La parábola y el rectángulo se cortan en el punto (0,0) y en un punto del segmento BC, segmento que pertenece a la recta y=2. Calculamos la abscisa de dicho punto de corte igualando ambas funciones y resolviendo:

$\dfrac{x^2}2=2~;\\\\x^2=4~;\\\\x=\pm2$

descartamos el resultado negativo y resulta que la parábola y el rectángulo se cortan en x=2.
El área del rectángulo completo $A_I+A_{II}$ es:

$4\cdot2=8\text{ u.a.}$

Calculamos el área $A_I$ utilizando el cálculo integral:

$\displaystyle A_I=\int_0^22-\dfrac{x^2}2~dx=\dfrac12\int_0^24-x^2~dx=\\\\=\dfrac12\left[4x-\dfrac{x^3}3\right]_0^2=\\\\=\dfrac12\left(8-\dfrac83\right)-\dfrac12(0)~;\\\\\boxed{A_I=\dfrac83\text{ u.a.}}$