Problema 1108

Calcular la potencia A^{2017} de la matriz A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}.


Solución:

Utilizamos el método de inducción sabiendo que A^0=I, siendo I la matriz de identidad de orden 2.

A^2=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=-I\\\\A^3=A^2A=-IA=-A\\\\A^4=A^2A^2=(-I)(-I)=I

Dado que A^4=A^0=I entonces A^{2017}=A^R, siendo R el resto de la división entera \frac{2017}4 que es 1, luego:

\boxed{A^{2017}=A^1=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.

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