Problema 1109

Dada la matriz $A=\begin{pmatrix}m&-2&0\\0&-2&0\\0&1&m\end{pmatrix}$

a) ¿Para qué valores de m la matriz A posee inversa? Estudiar el rango de la matriz en función del parámetro m.
b) Hallar el valor m para que se cumpla la igualdad $A^2=4\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ .

Solución:

a) Una matriz posee inversa si su determinante es distinto de 0, calculamos el determinante de A utilizando la regla de Sarrus:

$|A|=-2m^2$

Este determinante se anula para m=0, luego, la matriz M posee inversa para todo m≠0.
En cuanto al rango de A:

Si m≠0 el rango de A es 3.
Si m=0, tenemos $A=\begin{pmatrix}0&-2&0\\0&-2&0\\0&1&0\end{pmatrix}$ cuyo rango es 1 ya que la primera y segunda filas son proporcionales a la tercera, dicho de otro modo, solo hay una fila linealmente independiente.

b) Calculamos $A^2$ :

$A^2=\begin{pmatrix}m&-2&0\\0&-2&0\\0&1&m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}m&-2&0\\0&-2&0\\0&1&m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m^2&-2m+4&0\\0&4&0\\0&-2+m&m^2\end{pmatrix}$