Problema 1109

Dada la matriz A=\begin{pmatrix}m&-2&0\\0&-2&0\\0&1&m\end{pmatrix}

a) ¿Para qué valores de m la matriz A posee inversa? Estudiar el rango de la matriz en función del parámetro m.
b) Hallar el valor m para que se cumpla la igualdad A^2=4\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.


Solución:

a) Una matriz posee inversa si su determinante es distinto de 0, calculamos el determinante de A utilizando la regla de Sarrus:

|A|=-2m^2

Este determinante se anula para m=0, luego, la matriz M posee inversa para todo m≠0.
En cuanto al rango de A:

  • Si m≠0 el rango de A es 3.
  • Si m=0, tenemos A=\begin{pmatrix}0&-2&0\\0&-2&0\\0&1&0\end{pmatrix} cuyo rango es 1 ya que la primera y segunda filas son proporcionales a la tercera, dicho de otro modo, solo hay una fila linealmente independiente.

b) Calculamos A^2:

A^2=\begin{pmatrix}m&-2&0\\0&-2&0\\0&1&m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}m&-2&0\\0&-2&0\\0&1&m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m^2&-2m+4&0\\0&4&0\\0&-2+m&m^2\end{pmatrix}

Igualamos a 4I:

\begin{pmatrix}m^2&-2m+4&0\\0&4&0\\0&-2+m&m^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{pmatrix}

de donde obtenemos el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{ll}m^2=4&\rightarrow m=\pm2\\-2m+4=0&\rightarrow m=2\\-2+m=0&\rightarrow m=2\end{array}\right.

sistema cuya solución es m=2, luego para m=2 se cumple que A^2=4I.

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