Problema 1110

Calcula la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a la recta r\equiv~\dfrac x2=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z-1}3 y que pasa por el punto A(14,3,3).


Solución:

Construimos un plano π perpendicular a r que pase por el punto A. Dado que el vector director  de r es \vec v_r=(2,-2,3), luego el plano π tiene la forma:

\pi:~2x-2y+3z+D=0

Hacemos que este plano pase por A(14,3,3) sustituyendo sus coordenadas en la implícita del plano y resolviendo:

2\cdot14-2\cdot3+3\cdot3+D=0~;\\\\D=-31

Luego, el plano es \pi:~2x-2y+3z-31=0

Calculamos el punto de corte de r con π, lo llamamos B. Para ellos sustituimos las paramétricas de r en la implícita del plano y resolvemos:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=2\lambda\\y=3-2\lambda\\z=1+3\lambda\end{array}\right.

2\cdot(2\lambda)-2\cdot(3-2\lambda)+3\cdot(1+3\lambda)-31=0~;\\\\4\lambda-6+4\lambda+3+9\lambda-31=0~;\\\\17\lambda=34~;\\\\\lambda=2

Sustituimos éste valor de λ en las paramétricas de r para obtener B:

B=(2\cdot2,3-2\cdot2,1+3\cdot2)=(4,-1,7)

La recta s perpendicular a r que pasa por A es s:~A+\overrightarrow{AB}:

\overrightarrow{AB}=(4,-1,7)-(14,3,3)=(-10,-4,4)

Luego, la recta s es:

\boxed{s:~(x,y,z)=(14,3,3)+\lambda(-10,-4,4)}

PV-MII-O-17-2B

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