Problema 1111

Dada la función f(x)=\dfrac x{1-x^2}

a) ¿Cuál es el dominio de la función? ¿Para qué intervalos es creciente?
b) Razonar si tiene máximos y mínimos. En caso afirmativo hallarlos.
c) Calcula la recta tangente a dicha curva en el punto cuya abcisa es x = 0.


Solución:

a) El dominio de una función racional como f es el conjunto de todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador:

1-x^2=0~;\\\\x^2=1~;\\\\x=\pm1

Luego, \text{Dom}f(x)=\mathbb R\setminus\{-1,1\}.

Nos piden estudiar el crecimiento de f. Comenzamos calculando sus puntos críticos:

f'(x)=\dfrac{1-x^2-x(-2x)}{(1-x^2)^2}=\dfrac{1+x^2}{(1-x^2)^2}=0~;\\\\1+x^2=0~\rightarrow\text{No tiene soluci\'on real.}

Dado que f no tiene puntos críticos, solo utilizamos el dominio para estudiar la monotonía de f en la siguiente tabla de monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-1)&(-1,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&+&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Crece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

Luego, f es creciente en todo su dominio.


b) No tiene máximos ni mínimos dado que f no tiene puntos críticos.


c) La ecuación de la recta tangente a f en el punto de abscisa x=x_0 es:

\boxed{y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}

x_0=0~;\\\\f(0)=\dfrac0{1-0^2}=0~;\\\\f'(0)=\dfrac{1+0^2}{(1-0^2)^2}=1

Luego, la ecuación de la recta tangente es:

y=1(x-0)+0~;\\\\\boxed{y=x}

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s