Problema 1112

Resolver la siguiente integral \displaystyle\int\dfrac{x^2+5}{x^3-2x^2+x}~dx.


Solución:

Se trata de una integral racional. Primero factorizamos el denominador:

x^3-2x^2+x=x(x^2-2x+1)=x(x-1)^2

Para factorizar el denominador ni siquiera ha sido necesario calcular sus ceros.
Una vez factorizado el denominador descomponemos la fracción:

\dfrac{x^2+5}{x^3-2x^2+1}=\dfrac Ax+\dfrac B{x-1}+\dfrac C{(x-1)^2}=\dfrac{A(x-1)^2+Bx(x-1)+Cx}{x(x-1)^2}

de donde obtenemos la ecuación:

x^2+5=A(x-1)^2+Bx(x-1)+Cx

  • Si x=0
    5=A(-1)^2\rightarrow A=5
  • Si x=1
    6=C\cdot1\rightarrow C=6
  • Si x=2
    9=A+2B+2C\rightarrow B=\dfrac{9-5-12}2=-4

Luego:

\displaystyle\int\dfrac{x^2+5}{x^3-2x^2+x}~dx=\int\dfrac5x~dx+\int\dfrac{-4}{x-1}~dx+\int\dfrac6{(x-1)^2}~dx=\\\\=5\ln|x|-4\ln|x-1|-\dfrac6{x-1}+k

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