Problema 1113

Un autobús transporta 60 viajeros de tres tipos. Hay viajeros que pagan el billete entero, que vale 1,2 euros. Otro grupo de viajeros abona el 80% y un tercer grupo abona el 50%. La recaudación del autobús fue de 46,56 euros.
Calcular el número de viajeros de cada clase sabiendo que el número de los viajeros con mayor descuento es el doble que el número del resto de viajeros.


Solución:

Sea x el número de viajeros que pagan 1.2 euros por billete, sea y el número de viajeros que abonan el 80%, es decir 0.96 euros, y sea z el número de viajeros que abonan el 50%, 0.6 euros.
La recaudación total del autobús fue de 46.56 euros:

1.2x+0.96y+0.6z=46.56

En total son 60 viajeros:

x+y+z=60

El número de viajeros con mayor descuento, z, es el doble que el número del resto de viajeros:

z=2(x+y)

Con estas tres ecuaciones formamos el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{rl}1.2x+0.96y+0.6z&=46.56\\x+y+z&=60\\2x+2y-z&=0\end{array}\right.

Escribimos el sistema en forma matricial:

\begin{pmatrix}1.2&0.96&0.6\\1&1&1\\2&2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}46.56\\60\\0\end{pmatrix}

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:

\begin{pmatrix}1.2&0.96&0.6\\1&1&1\\2&2&-1\end{pmatrix}=-1.2+1.92+1.2-1.2+0.96-2.4=-0.72

Según el teorema de Rouché-Fröbenius este sistema es compatible determinado.
Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}46.56&0.96&0.6\\60&1&1\\0&2&-1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1.2&0.96&0.6\\1&1&1\\2&2&-1\end{vmatrix}}=\dfrac{-46.56+72+57.6-93.12}{-0.72}=\dfrac{-10.08}{-0,72}=14

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1.2&46.56&0.6\\1&60&1\\2&0&-1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1.2&0.96&0.6\\1&1&1\\2&2&-1\end{vmatrix}}=\dfrac{-72+93.12-72+46.56}{-0.72}=\dfrac{-4.32}{-0,72}=6

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1.2&0.96&46.56\\1&1&60\\2&2&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1.2&0.96&0.6\\1&1&1\\2&2&-1\end{vmatrix}}=\dfrac{115.2+93.12-93.12-144}{-0.72}=\dfrac{-28.8}{-0,72}=40

Es decir, 14 viajeros pagaron los 1.2 euros por billete, 6 viajeros pagaron el 80% del billete y los otros 40 viajeros pagaron el 50% del billete.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s