Problema 1114

Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro a

\left\{\begin{array}{rl}ax+2y+6z&=0\\2x+ay+4z&=2\\2x+ay+6z&=a-2\end{array}\right.

En caso de existir, encontrar la solución para el caso a=0.


Solución:

Para discutir el sistema de ecuaciones utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}a&2&6\\2&a&4\\2&a&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\a-2\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes utilizando determinantes:

\begin{vmatrix}a&2&6\\2&a&4\\2&a&6\end{vmatrix}=6a^2+16+12a-12a-24-4a^2=\\\\=2a^2-8=2(a^2-4)=0

Determinante que se anula para a=±2, luego:

  • Si a≠2 y a≠-2, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si a=2, entonces M=\begin{pmatrix}2&2&6\\2&2&4\\2&2&6\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}2&6\\2&4\end{vmatrix}=8-12=-4\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}2&6&0\\2&4&2\\2&6&0\end{vmatrix}=0
    Luego, el rango de la matriz ampliada es 2 y el sistema es compatible indeterminado.
  • Si a=-2, entonces M=\begin{pmatrix}-2&2&6\\2&-2&4\\2&-2&6\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}2&6\\-2&4\end{vmatrix}=8+12=20\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}2&6&0\\-2&4&2\\-2&6&-4\end{vmatrix}=-32-24-48-24\neq0
    Luego, el sistema es incompatible.

Nos piden resolver el sistema para a=0:

\begin{pmatrix}0&2&6\\2&0&4\\2&0&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}

Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}0&2&6\\2&0&4\\-2&0&6\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}0&2&6\\2&0&4\\2&0&6\end{vmatrix}}=\dfrac{-16-24}{2\cdot(0^2-4)}=\dfrac{-40}{-8}=5

y=\dfrac{\begin{vmatrix}0&0&6\\2&2&4\\2&-2&6\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}0&2&6\\2&0&4\\2&0&6\end{vmatrix}}=\dfrac{-24-24}{-8}=\dfrac{-48}{-8}=6

z=\dfrac{\begin{vmatrix}0&2&0\\2&0&2\\2&0&-2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}0&2&6\\2&0&4\\2&0&6\end{vmatrix}}=\dfrac{8+8}{-8}=\dfrac{16}{-8}=-2

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