Problema 1115

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Dada la recta que pasa por los puntos A( 0, 2, 3) y B( -1, 1, 1) encontrar un punto P de dicha recta tal que la distancia de P al punto M(1, 0, 1) sea la misma que la distancia de P al punto N( 0, 4, 2).

Solución:

Calculamos la ecuación de la recta r que pasa por A y B. Dicha recta tiene vector director:

\vec v_r=\overrightarrow{AB}=(0,2,3)-(-1,1,1)=(1,1,2)

Escribimos r en forma paramétrica sabiendo que pasa por A( 0, 2, 3):

\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=2+\lambda\\z=3+2\lambda\end{array}\right.

Luego, un punto cualquiera P perteneciente a r tiene las siguientes coordenadas:

P=(\lambda,2+\lambda,3+2\lambda)

Calculamos la distancia desde el punto P hasta el punto M(1, 0, 1):

d(P,M)=\sqrt{(\lambda-1)^2+(2+\lambda-0)^2+(3+2\lambda-1)^2}=\\\\=\sqrt{\lambda^2-2\lambda+1+4+\lambda^2+4\lambda+4+4\lambda^2+8\lambda}=\\\\=\sqrt{6\lambda^2+10\lambda+9}

Calculamos la distancia desde el punto P hasta el punto N( 0, 4, 2):

d(P,N)=\sqrt{(\lambda-0)^2+(2+\lambda-4)^2+(3+2\lambda-2)^2}=\\\\=\sqrt{\lambda^2+\lambda^2+4-4\lambda+4\lambda^2+1+4\lambda}=\\\\=\sqrt{6\lambda^2+5}

Igualamos estas distancias y resolvemos:

\sqrt{6\lambda^2+10\lambda+9}=\sqrt{6\lambda^2+5}~;\\\\6\lambda^2+10\lambda+9=6\lambda^2+5~;\\\\10\lambda=-4~;\\\\\lambda=\dfrac{-2}5

Sustituyendo este valor en P=(\lambda,2+\lambda,3+2\lambda) obtenemos:

\boxed{P=\left(\dfrac{-2}5,\dfrac85,\dfrac{11}5\right)}

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PV-MII-E-17-2A

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