Problema 1116

Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat II, ,

Sabemos que la recta y=2x-10 es tangente a la gráfica de la función f(x)=x^3+Ax^2+Bx-1 en el punto P(1,-8).

a) Calcula los valores de A y B.
b) Calcular los puntos de corte de la función f (x ) con la recta de ecuacióny=-15x-1.

Solución:

a) La recta y=2x-10 es tangente a f en el punto P(1,-8). De este dato se extrae qué:

  • f(1)=-8
  • f'(1)=2

Desarrollamos estas dos ecuaciones:

\bullet~f(1)=1^3+A\cdot1^2+B\cdot1-1=A+B=-8\\\\\bullet~f'(x)=3x^2+2Ax+B\rightarrow f'(1)=3\cdot1^2+2A\cdot1+B=2A+B+3=2

Tenemos el sistema:

\left\{\begin{array}{l}A+B=-8\\2A+B=-1\end{array}\right.

de donde obtenemos A=7, B=-15.

b) La función es f(x)=x^3+7x^2-15x-1. Para ver donde se corta con la función y=-15x-1, igualamos ambas funciones y resolvemos:

x^3+7x^2-15x-1=-15x-1~;\\\\x^3+7x^2=0~;\\\\x^2(x+7)=0

Ecuación cuyas soluciones son x=0, x=-7.
Para calcular las ordenadas de los puntos, sustituimos las abscisas anteriores en cualquiera de las dos funciones, por ejemplo en y=-15x-1:

x=0\rightarrow y=-15\cdot0-1=-1\\\\x=-7\rightarrow y=-15\cdot(-7)-1=104

Luego los puntos de corte son (0,-1) y (-7,104).

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