Problema 1119

a) Calcula para qué valor, o valores, de x admite inversa la siguiente matriz

A=\begin{pmatrix}1&1&x\\x&0&-1\\-6&-1&0\end{pmatrix}

b) En caso de existir, calcula la inversa de A para x=-3.


Solución:

a) Una matriz tiene inversa si su determinante es distinto de 0:

|A|=\begin{vmatrix}1&1&x\\x&0&-1\\-6&-1&0\end{vmatrix}=6-x^2-1=-x^2+5=0~;\\\\x^2=5~;\\\\x=\pm\sqrt5

A tiene inversa para todo número real x excepto x=\sqrt5 y x=-\sqrt5.


b) Para x=-3 tenemos A=\begin{pmatrix}1&1&-3\\-3&0&-1\\-6&-1&0\end{pmatrix}. Para calcular su inversa utilizamos la fórmula:

A^{-1}=\dfrac1{|A|}\cdot(\text{Adj}A)^t

donde:

|A|=-(-3)^2+5=-4\\\\\text{Adj}A=\begin{pmatrix}-1&6&3\\3&-18&-5\\-1&10&3\end{pmatrix}

y la matriz inversa es:

A^{-1}=\dfrac1{-4}\cdot\begin{pmatrix}-1&3&-1\\6&-18&10\\3&-5&3\end{pmatrix}

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