Problema 1120

a) Encontrar la ecuación de la recta que es paralela a los planos de ecuaciones:

\pi_1\equiv~x-3y+z=0\text{ y }\pi_2\equiv~2x-y+3z-5=0

y que pasa por el punto P(2,6,5).

b) Encontrar la distancia del primer plano a la recta obtenida.


Solución:

a) Una recta r es paralela a un plano si el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano:

r\parallel\pi\quad\leftrightarrow\quad\vec v_r\perp\vec n

Si queremos una recta paralela a dos planos, el vector director de la recta ha de ser perpendicular a los vectores normales de ambos planos, vector que obtenemos multiplicando vectorialmente ambos vectores normales.
Tenemos los vectores normales de ambos planos \vec n_1=(1,-3,1) y \vec n_2=(2,-1,3). El vector director de la recta es:

\vec v_r=\vec n_1\times\vec n_2=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&-3&1\\2&-1&3\end{vmatrix}=(-9+1)\vec\imath+(2-3)\vec\jmath+(-1+6)\vec k=(-8,-1,5)

y así tenemos la recta en forma vectorial:

r:~(x,y,z)=(2,6,5)+\lambda(-8,-1,5)


b) La distancia de una recta a un plano paralelos es igual a la distancia de un punto cualquiera de la recta al plano:

d(r,\pi_1)=d(P,\pi_1)=\dfrac{|2-3\cdot6+5|}{\sqrt{1^2+(-3)^2+1^2}}=\dfrac{11}{\sqrt{11}}=\sqrt{11}\text{ u.l.}

PV-MII-E-17-2B

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