Problema 1121

Dada la función y=\dfrac{x^3+4}{x^2}

a) Razonar la existencia de máximos y mínimos de la función. Si existen hallarlos.
b) ¿Para qué intervalos es creciente la función?
c) Hallar todas las asíntotas de la función.


Solución:

a) Calculamos los puntos críticos de f:

f'(x)=\dfrac{3x^2\cdot x^2-(x^3+4)2x}{x^4}=\dfrac{x^4-8x}{x^4}\dfrac{x^3-8}{x^3}=0~;\\\\x^3-8=0

Ecuación cuya solución real es x=2.
Para calcular máximos y mínimos utilizamos la siguiente tabla de monotonía teniendo en cuenta los puntos críticos y el dominio de f, \mathbb R\setminus\{0\}:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,0)&(0,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

Luego, en x=2 la función f presenta un mínimo. La ordenada de ese mínimo es:

$latex f(2)=\dfrac{2^3+4}{2^2}=3


b) A la vista de la tabla de monotonía observamos:

  • f crece en (-\infty,0)\cup(2,+\infty)
  • f decrece en (0,2).

c) Comenzamos por la asíntota vertical:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{x^3+4}{x^2}=\dfrac4{0^+}=+\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{x^3+4}{x^2}=\dfrac4{0^+}=+\infty

Tiene asíntota vertical de ecuación x=0.
Veamos si tiene asíntota horizontal:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^3+4}{x^2}=\dfrac\infty\infty=\lim_{x\rightarrow+\infty}x+\dfrac4{x^2}=+\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x^3+4}{x^2}=\lim_{x\rightarrow-\infty}x+\dfrac4{x^2}=-\infty

Luego, f no tiene asíntota horizontal.
Veamos si tiene asíntota oblicua (y=mx+n):

\displaystyle\bullet~m=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{f(x)}x=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^3+4}{x^3}=\lim_{x\rightarrow\infty}1+\dfrac4{x^3}=1\\\bullet~n=\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)-mx=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^3+4}{x^2}-x=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^3+4-x^3}{x^2}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac4{x^2}=0

Luego, la asíntota oblicua es y=x.

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