Problema 1122

Calcular el área del recinto limitado por las siguiente parábolas, realizando un dibujo del mismo.

y=-x^2-10x,\qquad y=(x+4)^2


Solución:

La función y=-x^2-10x=x(-x-10) es una parábola cóncava que corta al eje x en los puntos (0,0) y (-10,0). El vértice lo tiene en el punto (-5,25).
La función y=(x+4)^2 es la traslación horizontal hacia la izquierda 4 unidades de la función y=x^2. Por tanto, su vértice está en (-4,0) y pasa por los puntos (-5,1) y (-3,1).

p1122

Calculamos los puntos donde se cortan ambas funciones, igualándolas y resolviendo:

-x^2-10x=(x+4)^2~;\\-x^2-10x=x^2+16+8x~;\\2x^2+18x+16=0~;\\x^2+9x+8=0

ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=-1, x=-8.
El área S encerrado por ambas gráficas es:

\displaystyle S=\int_{-8}^{-1}(-x^2-10x)-(x+4)^2~dx=\int_{-8}^{-1}-2x^2-18x-16~dx=\\\\=-2\int_{-8}^{-1}x^2+9x+8~dx=-2\left[\dfrac{x^3}3+\dfrac{9x^2}2+8x\right]_{-8}^{-1}=\\\\=-2\left[\left(\dfrac{-1}3+\dfrac92-8\right)-\left(\dfrac{-512}3+288-64\right)\right]=\boxed{\dfrac{343}3\text{ u.a.}}

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