Calcular el área del recinto limitado por las siguiente parábolas, realizando un dibujo del mismo.
Solución:
La función 
La función 
Calculamos los puntos donde se cortan ambas funciones, igualándolas y resolviendo:
ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=-1, x=-8.
El área S encerrado por ambas gráficas es:
![\displaystyle S=\int_{-8}^{-1}(-x^2-10x)-(x+4)^2~dx=\int_{-8}^{-1}-2x^2-18x-16~dx=\\\\=-2\int_{-8}^{-1}x^2+9x+8~dx=-2\left[\dfrac{x^3}3+\dfrac{9x^2}2+8x\right]_{-8}^{-1}=\\\\=-2\left[\left(\dfrac{-1}3+\dfrac92-8\right)-\left(\dfrac{-512}3+288-64\right)\right]=\boxed{\dfrac{343}3\text{ u.a.}}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S%3D%5Cint_%7B-8%7D%5E%7B-1%7D%28-x%5E2-10x%29-%28x%2B4%29%5E2%7Edx%3D%5Cint_%7B-8%7D%5E%7B-1%7D-2x%5E2-18x-16%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D-2%5Cint_%7B-8%7D%5E%7B-1%7Dx%5E2%2B9x%2B8%7Edx%3D-2%5Cleft%5B%5Cdfrac%7Bx%5E3%7D3%2B%5Cdfrac%7B9x%5E2%7D2%2B8x%5Cright%5D_%7B-8%7D%5E%7B-1%7D%3D%5C%5C%5C%5C%3D-2%5Cleft%5B%5Cleft%28%5Cdfrac%7B-1%7D3%2B%5Cdfrac92-8%5Cright%29-%5Cleft%28%5Cdfrac%7B-512%7D3%2B288-64%5Cright%29%5Cright%5D%3D%5Cboxed%7B%5Cdfrac%7B343%7D3%5Ctext%7B+u.a.%7D%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle S=\int_{-8}^{-1}(-x^2-10x)-(x+4)^2~dx=\int_{-8}^{-1}-2x^2-18x-16~dx=\\\\=-2\int_{-8}^{-1}x^2+9x+8~dx=-2\left[\dfrac{x^3}3+\dfrac{9x^2}2+8x\right]_{-8}^{-1}=\\\\=-2\left[\left(\dfrac{-1}3+\dfrac92-8\right)-\left(\dfrac{-512}3+288-64\right)\right]=\boxed{\dfrac{343}3\text{ u.a.}}")
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