Problema 1123

Dado el número N=2^{2017}+5^{2017}+6^{2017}, sea Z=N^{2017}. Contestar razonadamente a la siguiente pregunta: ¿es Z múltiplo de 10?


Solución:

Para que un número Z sea múltiplo de 10, este número debe terminar en 0; es necesario que sea par.

Las potencias de 2 son: 2,4,8,16,32, 64…. siempre terminan en par.
Las potencias de 5 son: 5,25,125…. siempre terminan en 5, impar.
Las potencias de 6 son: 6,36, 216…. siempre terminan en 6, par.

Dado que la suma de un par y un impar resulta un impar, la suma 2^n+5^n+6^n siempre va a ser impar para todo n natural, en particular para n=2017, luego N es impar.

Las potencias de cualquier número impar es impar, luego Z=N^{2017} es impar por lo que Z no es múltiplo de 10.

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