Problema 1124

Discutir el sistema S(a) en función de a, siendo

S(a)=\left\{\begin{array}{rl}ax-y+2z&=2\\x-2y-z&=1\\x+2y+az&=3\end{array}\right.

Resolver en función de a, mediante el método de Cramer, en los casos en que sea posible.


Solución:

Utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius para discutir el sistema. Escribimos el sistema en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}a&-1&2\\1&-2&-1\\1&2&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes utilizando determinantes:

\begin{vmatrix}a&-1&2\\1&-2&-1\\1&2&a\end{vmatrix}=-2a^2+1+4+4+a+2a=-2a^2+3a+9=0

Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos a=-3/2 y a=3, luego:

  • Si a\neq-3/2\text{ y }a\neq3 entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si a=-3/2, entonces \begin{pmatrix}\frac{-3}2&-1&2\\1&-2&-1\\1&2&\frac{-3}2\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}-1&2\\-2&-1\end{vmatrix}=1+4\neq0. Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}-1&2&2\\-2&-1&1\\2&\frac{-3}2&3\end{vmatrix}=3+4+6+4+12-\frac32\neq0
    Luego, el rango de M* es 3 y el sistema es incompatible.
  • Si a=3 entonces M=\begin{pmatrix}3&-1&2\\1&-2&-1\\1&2&3\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}-1&2\\-2&-1\end{vmatrix}=1+4\neq0. Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}-1&2&2\\-2&-1&1\\2&3&3\end{vmatrix}=3+4-12+4+12+3\neq0
    Luego, el rango de M* es 3 y el sistema es incompatible.

Solo podemos resolver el sistema si a\neq-3/2\text{ y }a\neq3. Utilizamos la regla de Cramer para resolver el sistema en este caso:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}2&-1&2\\1&-2&-1\\3&2&a\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&-1&2\\1&-2&-1\\1&2&a\end{vmatrix}}=\dfrac{-4a+3+4+12+a+4}{-2a^2+3a+9}=\dfrac{-3a+23}{-2a^2+3a+9}

y=\dfrac{\begin{vmatrix}a&2&2\\1&1&-1\\1&3&a\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&-1&2\\1&-2&-1\\1&2&a\end{vmatrix}}=\dfrac{a^2-2+6-2-2a+3a}{-2a^2+3a+9}=\dfrac{a^2+a+2}{-2a^2+3a+9}

z=\dfrac{\begin{vmatrix}a&-1&2\\1&-2&1\\1&2&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&-1&2\\1&-2&-1\\1&2&a\end{vmatrix}}=\dfrac{-6a-1+4+4+3-2a}{-2a^2+3a+9}=\dfrac{-8a+10}{-2a^2+3a+9}

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