Problema 1125

Sea M(\alpha) la matriz dada por M(\alpha)=\begin{pmatrix}1&\alpha&1\\\alpha&1&\alpha\\0&\alpha&1\end{pmatrix}.

a) Determinar para qué valores de α la matriz no tiene inversa.
b) Calcular, si es posible, la matriz inversa para α=0, y en caso de que no sea posible razonar por qué no es posible.


Solución:

a) Una matriz no tiene inversa si su determinante es igual a 0. Calculamos su determinante:

|M|=\begin{vmatrix}1&\alpha&1\\\alpha&1&\alpha\\0&\alpha&1\end{vmatrix}=1+\alpha^2-\alpha^2-\alpha^2=1-\alpha^2=(1-\alpha)(1+\alpha)

Determinante que se anula para α=1 y α=-1, luego, M no tiene inversa para α=1 y α=-1.


b) Para α=0 sí existe la inversa de M y su determinante es |M|=1-0^2=1.
Para calcular la inversa utilizamos la fórmula:

M^{-1}=\dfrac1{|M|}\cdot(\text{Adj}M)^t

M=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

\text{Adj}M=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}

Luego:

M^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

PV-MII-O-20-2A

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s