Problema 1126

a) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (-1,2,3) y es paralelo a los vectores \vec v=(-1,-2,-3) y \vec w=(1,3,5).

b) Hallar el valor de A para que el plano calculado en el apartado anterior y Ax-y+5z=8 sean perpendiculares.


Solución:

a) En forma vectorial el plano es:

(x,y,z)=(-1,2,3)+\lambda(-1,-2,-3)+\mu(1,3,5)

Lo escribimos en forma general:

\begin{vmatrix}x+1&y-2&z-3\\-1&-2&-3\\1&3&5\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}x+1&y-2&z-3\\1&2&3\\1&3&5\end{vmatrix}=\\\\=-[(x+1)(10-9)+(y-2)(3-5)+(z-3)(3-2)]=-[x+1-2y+4+z-3]=0~;\\\\\boxed{x-2y+z+2=0}


b) Dos planos son perpendiculares si lo son sus vectores normales.
El vector normal del plano del apartado anterior es (1,-2,1), y el vector normal del plano Ax-y+5z=8 es (A,-1,5).
Aplicamos la condición de perpendicularidad a ambos vectores:

(1,-2,1)\cdot(A,-1,5)=A+2+5=0~;\\\\\boxed{A=-7}

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