Problema 1127

Sea π el plano 2x-y+Az=0. Sea r la recta dada por r\equiv~\left\{\begin{array}{l}4x-3y+4z=-1\\3x-2y+z=-3\end{array}\right..
Hallar A para que r y π sean paralelos. Además, obtener el plano perpendicular a r y que pase por el origen.


Solución:

Calculamos el vector director de r:

\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\4&-3&4\\3&-2&1\end{vmatrix}=\vec\imath(-3+8)+\vec\jmath(12-4)+\vec k(-8+9)=(5,8,1)=\vec v_r

La recta y el plano son paralelos si el vector director de la recta \vec v_r=(5,8,1) es perpendicular al vector normal del plano (2,-1,A). Aplicamos la condición de perpendicularidad a ambos vectores:

(5,8,1)\cdot(2,-1,A)=10-8+A=0~;\\\\\boxed{A=-2}

Además, nos piden un plano perpendicular a r. Este plano tiene la forma:

5x+8y+z+D=0

Nos piden que éste plano pase por el origen O(0,0,0). Sustituimos estas coordenadas en la ecuación del plano y resolvemos:

5\cdot0+8\cdot0+0+D=0~;\\\\D=0

Luego, el plano buscado es:

\boxed{5x+8y+z=0}

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s