Problema 1128

Dada la función f(x)=ax^3+bx^2+c, obtener los valores de a, bc para que su gráfica pase por (0,2) y tenga un extremo en (1,-1). ¿Tiene f más extremos?


Solución:

  • f pasa por el punto (0,2)
    • f(0)=2
  • tiene un extremo en el punto (1,-1)
    • f(1)=-1
    • f'(1)=0

Desarrollamos estas tres ecuaciones:

\bullet~f(0)=a\cdot0^3+b\cdot0^2+c=c=2\\\bullet~f(1)=a\cdot1^3+b\cdot1^2+c=a+b+c=-1

Dado que f'(x)=3ax^2+2bx entonces:

\bullet~f'(1)=3a\cdot1^2+2b\cdot1=3a+2b=0

Solo queda resolver el sistema:

\left\{\begin{array}{rl}c&=2\\a+b+c&=-1\\3a+2b&=0\end{array}\right.

cuya solución es c=2, a=6, b=-9.

Para ver si f tiene más extremos calculamos sus puntos críticos:

f'(x)=18x^2-18x=0~;\\\\18x(x-1)=0

Ecuación cuyas soluciones son x=0 y x=1. El extremo en x=1 ya lo conocíamos por el enunciado. Caracterizamos el punto crítico en x=0 utilizando el test de la derivada segunda:

f''(x)=36x-18\\\\\bullet~f''(0)=-18<0\rightarrow\text{ m\'aximo}

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