Problema 1129

Sea f(x)=x^2+9, y P el punto exterior a su gráfica de coordenadas P=(0,0). Calcular razonadamente la (o las) tangentes a la gráfica de f que pasan por el punto P.


Solución:

La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto x=x_0 es:

\boxed{y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}

La recta tangente debe pasar por el punto (0,0), es decir, cuando x=0 entonces y=0. Sustituyendo en la ecuación anterior:

0=f'(x_0)(0-x_0)+f(x_0)~;\\\\x_0f'(x_0)=f(x_0)\qquad(1)

Calculamos la derivada de f:

f'(x)=2x~;\\\\f'(x_0)=2x_0

Sustituimos en (1) y resolvemos la ecuación:

x_0(2x_0)=x_0^2+9~;\\\\2x_0^2=x_0^2+9~;\\\\x_0^2-9=0~;\\\\(x_0-3)(x_0+3)=0

Ecuación cuyas soluciones son x_0=3\text{ y }x_0=-3.
Calculamos las ecuaciones de las rectas tangentes:

\begin{array}{lll}\bullet~x_0=3&\rightarrow&y=6(x-3)+18\\&&\boxed{y=6x}\\\bullet~x_0=-3&\rightarrow&y=-6(x-(-3))+18\\&&\boxed{y=-6x}\end{array}

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