Problema 1130

Dibujar la región encerrada por f(x)=x^2-2x+1 y g(x)=-x^2+5, y calcular el área de dicha región.


Solución:

Se trata de dos funciones elementales, dos funciones cuadráticas cuyas gráficas son parábolas.
La función f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2 es igual que la función y=x^2 pero trasladada 1 unidad hacia la derecha, luego, tiene su vértice en el punto (1,0) y pasa por los puntos (0,1) y (2,1).
La función g(x)=-x^2+5 es igual a la parábola cóncava y=-x^2 pero trasladada 5 unidades hacia arriba. Tiene su vértice en el punto (0,5) y pasa por los puntos (-1,4) y (1,4), además corta al eje x en los puntos (-\sqrt5,0)\text{ y }(\sqrt5,0).

p1130

Calculamos donde se cortan ambas funciones:

x^2-2x+1=-x^2+5~;\\\\2x^2-2x-4=0~;\\\\x^2-x-2=0

ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=-1, x=2, luego, el área S encerrada entre ambas gráficas es:

\displaystyle S=\int_{-1}^2(-x^2+5)-(x^2-2x+1)~dx=\int_{-1}^2-2x^2+2x+4~dx=\\\\=-2\int_{-1}^2x^2-x-2~dx=-2\left[\dfrac{x^3}3-\dfrac{x^2}2-2x\right]_{-1}^2=\\\\=-2\left[\left(\dfrac83-2-4\right)-\left(\dfrac{-1}3-\dfrac12+2\right)\right]= \boxed{9\text{ u.a.}}

PV-MII-O-20-A4

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