Problema 1131

Calcular las integrales indefinidas I y J explicando los métodos usados para su resolución.

$\displaystyle I=\int x\cos(2x)~dx,\qquad J=\int\dfrac{dx}{x^2+2x-3}$

Solución:

La integral I la calculamos utilizando el método de integración por partes:

$\begin{array}{lll}u=x&\rightarrow&du=dx\\dv=\cos(2x)~dx&\rightarrow&v=\dfrac{\text{sen}(2x)}2\end{array}$

Luego:

$\displaystyle I=\dfrac{x\,\text{sen}(2x)}2-\int\dfrac{\text{sen}(2x)}2~dx~;\\\\\boxed{I=\dfrac{x\,\text{sen}(2x)}2+\dfrac{\cos(2x)}4+k}$

La integral J es de tipo racional. Comenzamos calculando las raíces del denominador:

$x^2+2x-3=0$

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=-1, x=3.
Descomponemos la fracción:

$\dfrac1{x^2+2x-3}=\dfrac A{x+1}+\dfrac B{x-3}=\dfrac{A(x-3)+B(x+1)}{(x+1)(x-3)}$

de donde obtenemos:

$1=A(x-3)+B(x+1)$

Luego:

$\displaystyle\int\dfrac{dx}{x^2+2x-3}=\int\dfrac{-1/4}{x+1}~dx+\int\dfrac{1/4}{x-3}~dx\\\\\boxed{J=\dfrac{-1}4\ln|x+1|+\dfrac14\ln|x-3|+k}$

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