Problema 1131

Calcular las integrales indefinidas I y J explicando los métodos usados para su resolución.

\displaystyle I=\int x\cos(2x)~dx,\qquad J=\int\dfrac{dx}{x^2+2x-3}


Solución:

La integral I la calculamos utilizando el método de integración por partes:

\begin{array}{lll}u=x&\rightarrow&du=dx\\dv=\cos(2x)~dx&\rightarrow&v=\dfrac{\text{sen}(2x)}2\end{array}

Luego:

\displaystyle I=\dfrac{x\,\text{sen}(2x)}2-\int\dfrac{\text{sen}(2x)}2~dx~;\\\\\boxed{I=\dfrac{x\,\text{sen}(2x)}2+\dfrac{\cos(2x)}4+k}


La integral J es de tipo racional. Comenzamos calculando las raíces del denominador:

x^2+2x-3=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=-1, x=3.
Descomponemos la fracción:

\dfrac1{x^2+2x-3}=\dfrac A{x+1}+\dfrac B{x-3}=\dfrac{A(x-3)+B(x+1)}{(x+1)(x-3)}

de donde obtenemos:

1=A(x-3)+B(x+1)

  • Si x=3:
    1=4B\rightarrow B=1/4
  • Si x=-1:
    1=-4A\rightarrow A=-1/4

Luego:

\displaystyle\int\dfrac{dx}{x^2+2x-3}=\int\dfrac{-1/4}{x+1}~dx+\int\dfrac{1/4}{x-3}~dx\\\\\boxed{J=\dfrac{-1}4\ln|x+1|+\dfrac14\ln|x-3|+k}

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