Problema 1133

En un garaje hay 30 aparcamientos. En cada aparcamiento puede encontrarse o no un automóvil, con independencia de lo que ocurra en los otros. Si la probabilidad de que un aparcamiento esté ocupado es de 0.4, se pide:

a) Identificar y describir este modelo de probabilidad.
b) Hallar la probabilidad de que cierto día haya 8 automóviles aparcados.
c) Hallar la probabilidad de que un día haya entre 10 y 20 automóviles aparcados.


Solución:

a) Es un problema de distribución binomial B(n,p)=B(30,0.4).


b) La probabilidad de que un día haya 8 aparcamientos ocupados es:

\displaystyle P[x=8]={30\choose8}\cdot0.4^8\cdot(1-0.4)^{30-8}=0.0505


c) Habría que calcular las probabilidades individuales de que hubieran 10 automóviles aparcados, 11…… y así hasta 20, y por último sumar todas las probabilidades, pero en su lugar haremos la aproximación de la binomial a la normal: B(n,p)\approx N(np,\sqrt{npq}).
En nuestro caso aproximamos la binomial a N(12,2.68) y buscamos la probabilidad P[9.5<x<20.5] teniendo en cuenta la corrección de continuidad:

P[9.5<x<20.5]=P\left[\dfrac{9.5-12}{2.68}\leq z\leq\dfrac{20.5-12}{2.68}\right]=\\\\=P[-0.93<z<3.17]=P[z<3.17]-P[z<-0.93]=\\\\=P[z<3.17]-(1-P[z<0.93])

Consultando la tabla de probabilidades tenemos que:

P[z<3.17]-(1-P[z<0.93])=0.99924-(1-0.8238)=0.823

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