Problema 1134

Considera la función f definida por f(x)=\dfrac{x^2-2x-3}{x^2-1} para x\neq1,-1.

a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de f.
b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.


Solución:

a) Asíntota vertical en x=1:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow1^+}\dfrac{x^2-2x-3}{x^2-1}=\dfrac{-4}{0^+}=-\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow1^-}\dfrac{x^2-2x-3}{x^2-1}=\dfrac{-4}{0^-}=+\infty

Asíntota vertical en x=-1:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow-1^+}\dfrac{x^2-2x-3}{x^2-1}=\dfrac00=\lim_{x\rightarrow-1^+}\dfrac{(x+1)(x-3)}{(x+1)(x-1)}=\lim_{x\rightarrow-1^+}\dfrac{x-3}{x-1}=\dfrac{-4}{-2}=2\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-1^-}\dfrac{x^2-2x-3}{x^2-1}=\dfrac00=\lim_{x\rightarrow-1^-}\dfrac{(x+1)(x-3)}{(x+1)(x-1)}=\lim_{x\rightarrow-1^-}\dfrac{x-3}{x-1}=\dfrac{-4}{-2}=2

Solo existe una asíntota vertical de ecuación x=1.
La indeterminación 0/0 la hemos resuelto factorizando numerador y denominador y simplificando.

  • Asíntota horizontal:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2-2x-3}{x^2-1}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\frac{x^2}{x^2}-\frac{2x}{x^2}-\frac3{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}-\frac1{x^2}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{1-\frac2x-\frac3{x^2}}{1-\frac1{x^2}}=\dfrac11=1

Existe la asíntota horizontal de ecuación y=1. No existe asíntota oblicua.


b) Para estudiar la monotonía de f, comenzamos calculando sus puntos críticos:

f'(x)=\dfrac{(2x-2)(x^2-1)-(x^2-2x-3)(2x)}{(x^2-1)^2}=\\\\=\dfrac{2x^3-2x-2x^2+2-(2x^3-4x^2-6x)}{(x^2-1)^2}=\dfrac{2x^2+4x+2}{(x^2-1)^2}=0~;\\\\2x^2+4x+2=0~;\\\\2(x^2+2x+1)=0~;\\\\2(x+1)^2=0

Ecuación cuya solución es x=-1, punto en el que f no está definida, luego f no tiene puntos críticos. Estudiamos la monotonía en la siguiente tabla teniendo en cuenta solo el dominio:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-1)&(-1,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&+&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Crece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

f es creciente en todo su dominio: \mathbb R\setminus\{-1,1\}.

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