Problema 1135

Calcula a>0 sabiendo que el área de la región determinada por la gráfica de la función f(x)=xe^{3x}, el eje de abscisas y la recta x=a vale 1/9.


Solución:

Calculamos donde la función f corta al eje de abscisas (y=0):

xe^{3x}=0

ecuación cuya única solución es x=0. Luego, el área S de la región determinada por f, el eje de abscisas y la recta x=a es:

\displaystyle S=\int_0^axe^{3x}~dx

Calculamos la primitiva de f utilizando el método de integración por partes:

\begin{array}{lcl}u=x&\rightarrow&du=dx\\dv=e^{3x}&\rightarrow&v=\frac{e^{3x}}3\end{array}

Luego:

\displaystyle S=\left[\dfrac{xe^{3x}}3\right]_0^a-\int_0^a\dfrac{e^{3x}}3~dx=\left[\dfrac{xe^{3x}}3-\dfrac{e^{3x}}9\right]_0^a=\dfrac19\Big[3xe^{3x}-e^{3x}\Big]_0^a=\\\\=\dfrac19\Big[e^{3x}(3x-1)\Big]_0^a=\dfrac19\Big[\big(3ae^{3a}-e^{3a}\big)-\big(-1\big)\Big]=\dfrac19\big(e^{3a}(3a-1)+1\big)

Igualamos este resultado a 1/9 y resolvemos:

\dfrac19\big(e^{3a}(3a-1)+1\big)=\dfrac19~;\\\\e^{3a}(3a-1)+1=1~;\\\\e^{3a}(3a-1)=0

ecuación cuya solución es \boxed{a=\frac13}.

And-MII-O-20-E2

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