Problema 1136

Algebra II, Matrices y determinantes II, Selectividad Mat II,

Considera la matriz A=\begin{pmatrix}1&-1&m+2\\0&1&m+1\\m&0&5\end{pmatrix}.

a) Estudia el rango de A según los valores de m.
b) Para m=2, calcula la inversa de 2020A.

Solución:

a) Utilizamos determinantes para calcular el rango de A:

\begin{vmatrix}1&-1&m+2\\0&1&m+1\\m&0&5\end{vmatrix}=5-m(m+1)-m(m+2)=5-2m^2-3m=0~;\\\\2m^2+3m-5=0

ecuación de segundo grado cuyas soluciones son m=1,~m=\frac{-5}2, luego:

  • Si m\neq1\text{ y }m\neq\frac{-5}2, entonces rg(A)=3.
  • Si m=1, entonces A=\begin{pmatrix}1&-1&3\\0&1&2\\1&0&5\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&-1\\0&1\end{vmatrix}=1\neq0.
  • Si m=\frac{-5}2 entonces A=\begin{pmatrix}1&-1&\frac{-1}2\\0&1&\frac{-3}2\\\frac{-5}2&0&5\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&-1\\0&1\end{vmatrix}=1\neq0.

b) Sabemos que:

\boxed{(kA)^{-1}=\dfrac1k\cdot A^{-1}}

con k\neq0, luego la inversa de 2020A es \dfrac{A^{-1}}{2020}.
Calculamos A^{-1} con la fórmula:

\boxed{A^{-1}=\dfrac1{|A|}\cdot(\text{Adj}A)^t}

Para m=2 tenemos A=\begin{pmatrix}1&-1&4\\0&1&3\\2&0&5\end{pmatrix}:

|A|=-9

\text{Adj}A=\begin{pmatrix}5&6&-2\\5&-3&-2\\-7&-3&1\end{pmatrix}

Luego:

A^{-1}=\dfrac1{-9}\cdot\begin{pmatrix}5&5&-7\\6&-3&-3\\-2&-2&1\end{pmatrix}

y:

(2020A)^{-1}=\dfrac1{-9\cdot2020}\cdot\begin{pmatrix}5&5&-7\\6&-3&-3\\-2&-2&1\end{pmatrix}

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