Problema 1136

📖Algebra II, Matrices y determinantes II, Selectividad Mat IIMatriz inversa, Rangos de matricesdurán

Considera la matriz $A=\begin{pmatrix}1&-1&m+2\\0&1&m+1\\m&0&5\end{pmatrix}$ .

a) Estudia el rango de A según los valores de m.
b) Para m=2, calcula la inversa de 2020A.

Solución:

a) Utilizamos determinantes para calcular el rango de A:

$\begin{vmatrix}1&-1&m+2\\0&1&m+1\\m&0&5\end{vmatrix}=5-m(m+1)-m(m+2)=5-2m^2-3m=0~;\\\\2m^2+3m-5=0$

ecuación de segundo grado cuyas soluciones son $m=1,~m=\frac{-5}2$ , luego:

Si $m\neq1\text{ y }m\neq\frac{-5}2$ , entonces rg(A)=3.
Si m=1, entonces $A=\begin{pmatrix}1&-1&3\\0&1&2\\1&0&5\end{pmatrix}$ cuyo rango es 2 ya que $\begin{vmatrix}1&-1\\0&1\end{vmatrix}=1\neq0$ .
Si $m=\frac{-5}2$ entonces $A=\begin{pmatrix}1&-1&\frac{-1}2\\0&1&\frac{-3}2\\\frac{-5}2&0&5\end{pmatrix}$ cuyo rango es 2 ya que $\begin{vmatrix}1&-1\\0&1\end{vmatrix}=1\neq0$ .

b) Sabemos que:

$\boxed{(kA)^{-1}=\dfrac1k\cdot A^{-1}}$

con $k\neq0$ , luego la inversa de $2020A$ es $\dfrac{A^{-1}}{2020}$ .
Calculamos $A^{-1}$ con la fórmula:

$\boxed{A^{-1}=\dfrac1{|A|}\cdot(\text{Adj}A)^t}$

Para m=2 tenemos $A=\begin{pmatrix}1&-1&4\\0&1&3\\2&0&5\end{pmatrix}$ :

$|A|=-9$

$\text{Adj}A=\begin{pmatrix}5&6&-2\\5&-3&-2\\-7&-3&1\end{pmatrix}$

Luego:

$A^{-1}=\dfrac1{-9}\cdot\begin{pmatrix}5&5&-7\\6&-3&-3\\-2&-2&1\end{pmatrix}$

y:

$(2020A)^{-1}=\dfrac1{-9\cdot2020}\cdot\begin{pmatrix}5&5&-7\\6&-3&-3\\-2&-2&1\end{pmatrix}$

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