Problema 1137

Siendo a\neq0, considera las rectas

r\equiv~x-1=y-2=\frac{z-1}a\qquad s\equiv~\frac{x-3}{-a}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+1}2

a) Estudia la posición relativa de ambas rectas según los valores de a.
b) Para a=2, determina las ecuaciones de la recta que pasa por el punto de corte de r y s y es perpendicular a ambas.


Solución:

a) Recordar la posición relativa de dos rectas en el espacio.
Los vectores directores de ambas rectas son:

  • \vec v_r=(1,1,a)
  • \vec v_s=(-a,-1,2)

Obtenemos un punto cualquiera de cada recta:

  • P_r=(1,2,1)
  • P_s=(3,3,-1)

Calculamos el vector \overrightarrow{P_rP_s}:

\overrightarrow{P_rP_s}=(3,3,-1)-(1,2,1)=(2,1,-2)

Calculamos el rango de la matriz \begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&a\\-a&-1&2\end{pmatrix} por determinantes:

\begin{vmatrix}1&1\\-a&-1\end{vmatrix}=-1+a=0~;\\\\a=1

  • Si a\neq1 entonces rg\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\end{pmatrix}=2.
  • Si a=1 entonces \begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1\\-1&-1&2\end{pmatrix} cuyo rango también es 2, ya que \begin{vmatrix}1&1\\-1&2\end{vmatrix}=3\neq0.

Es decir, rg\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\end{pmatrix}=2 para todo a.
Calculamos el rango de \begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_rP_s}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&a\\-a&-1&2\\2&1&-2\end{pmatrix} por determinantes:

\begin{vmatrix}1&1&a\\-a&-1&2\\2&1&-2\end{vmatrix}=2+4-a^2+2a-2a-2=-a^2+4=0~;\\\\a=\pm2

  • Si a\neq2\text{ y }a\neq-2 entonces rg\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_rP_s}\end{pmatrix}=3, y las dos rectas se cruzan sin cortarse.
  • Si a=2 o a=-2, entonces rg\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_rP_s}\end{pmatrix}=2 y las dos rectas se cortan en un punto.

b) Para a=2 tenemos las rectas:

r\equiv~x-1=y-2=\frac{z-1}2\qquad s\equiv~\frac{x-3}{-2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+1}2

Escribimos la recta r en paramétricas:

r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=1+\lambda\\y=2+\lambda\\z=1+2\lambda\end{array}\right.

Sustituimos en la ecuación continua de s:

\dfrac{1+\lambda-3}{-2}=\dfrac{2+\lambda-3}{-1}=\dfrac{1+2\lambda+1}2~;\\\\\dfrac{\lambda-2}{-2}=\dfrac{\lambda-1}{-1}=\dfrac{2\lambda+2}2

de la primera igualdad:

-\lambda+2=-2\lambda+2~;\\\\\lambda=0

Comprobamos que \lambda=0 verifica todas las igualdades. Sustituyendo en las paramétricas de r obtenemos las coordenadas del punto de corte de r y s, que es P_r=(1,2,1).
Calculamos un vector perpendicular a las direcciones de r y s:

\vec v=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&1&2\\-2&-1&2\end{vmatrix}=\vec\imath(2+2)+\vec\jmath(-4-2)+\vec k(-1+2)=(4,-6,1)

Luego, la recta buscada es:

(x,y,z)=(1,2,1)+\mu(4,-6,1)

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s