Problema 1138

Sea f:[0,2\pi]\rightarrow\mathbb R la función definida por f(x)=\dfrac{\text{sen}\,x}{2-\cos x}.

a) Halla los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
b) Determina la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x=\frac\pi3.


Solución:

a) Comenzamos calculando los puntos críticos de f:

f'(x)=\dfrac{\cos(x)\cdot(2-\cos(x))-\text{sen}(x)\cdot\text{sen}(x)}{(2-\cos(x))^2}=0~;\\\\2\cos(x)-\cos^2(x)-\text{sen}^2(x)=0~;\\\\2\cos(x)-1=0~;\\\\\cos(x)=\dfrac12

Esta última ecuación tiene por soluciones:

x=\left\{\begin{array}{l}\dfrac\pi3+2\pi k\\-\dfrac\pi3+2\pi k\end{array}\right.,\qquad k\in\mathbb Z

Los valores comprendidos en el intervalo [0,2\pi] son x=\frac\pi3 y x=\frac{5\pi}3. Calculamos los valores que alcanza f:

\bullet~x=\dfrac\pi3\rightarrow f(\frac\pi3)=\dfrac{\frac{\sqrt3}2}{2-\frac12}=\dfrac{\sqrt3}3\\\\\bullet~x=\dfrac{5\pi}3\rightarrow f(\frac{5\pi}3)=\dfrac{\frac{-\sqrt3}2}{2-\frac12}=\dfrac{-\sqrt3}3


b) La ecuación de la recta tangente a f en el punto de abscisa x=x_0 es:

\boxed{y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}

Si x_0=\frac\pi3, entonces:

  • f(\frac\pi3)=\dfrac{\sqrt3}3
  • f'(\frac\pi3)=0, ya que x_0 corresponde a un punto crítico.

La recta tangente es:

y=f(\frac\pi3)\\\\\boxed{rt:~y=\dfrac{\sqrt3}3}

La ecuación de la recta normal a fen el punto de abscisa x=x_0 es:

\boxed{y=\dfrac{-1}{f'(x_0)}\cdot(x-x_0)+f(x_0)}

de donde obtenemos:

-f'(x_0)(y-f(x_0))=x-x_0

Dado que en x_0=\frac\pi3 tenemos un punto crítico, entonces f'(x_0)=0, luego:

0=x-\dfrac\pi3

Luego, la ecuación de la recta normal es:

\boxed{rn:~x=\dfrac\pi3}

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s