Problema 1139

Sea f la función dada por f(x)=\dfrac{3x^2+4}{(x-2)^2} para x\neq2.

a) Calcula \int f(x)~dx.
b) Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (3,5).


Solución:

a) Se trata de una integral racional. En primer lugar, al ser el grado del numerador mayor o igual que el grado del denominador, hacemos la división y obtenemos el cociente y el resto. En nuestro caso el cociente es C(x)=3 y el resto R(x)=12x-8, luego:

\dfrac{3x^2+4}{(x-2)^2}=3+\dfrac{12x-8}{(x-2)^2}

La última fracción la descomponemos:

\dfrac{12x-8}{(x-2)^2}=\dfrac A{x-2}+\dfrac B{(x-2)^2}=\dfrac{A(x-2)+B}{(x-2)^2}

de donde obtenemos:

12x-8=A(x-2)+B

Dando valores a x obtenemos los valores de A y B:

  • Si x=2, 12\cdot2-8=B\rightarrow B=16
  • Si x=1, 4=-A+B\rightarrow A=12

Luego:

\dfrac{3x^2+4}{(x-2)^2}=3+\dfrac{12x-8}{(x-2)^2}=3+\dfrac{12}{x-2}+\dfrac{16}{(x-2)^2}

Calculamos la integral:

\displaystyle\int\dfrac{3x^2+4}{(x-2)^2}=\int3~dx+\int\dfrac{12}{x-2}~dx+\int\dfrac{16}{(x-2)^2}~dx

Tenemos dos integrales potenciales y la central que es logarítmica:

\displaystyle\int\dfrac{3x^2+4}{(x-2)^2}=3x+12\ln|x-2|-\dfrac{16}{x-2}+k


b) La primitiva de f es:

F(x)=3x+12\ln|x-2|-\dfrac{16}{x-2}+k

La primitiva de f pasa por el punto (3,5), es decir, F(3)=5, luego:

F(3)=3\cdot3+12\ln|3-2|-\dfrac{16}{3-2}+k=5~;\\\\9+0-16+k=5~;\\\\k=12

Luego:

\boxed{F(x)=3x+12\ln|x-2|-\dfrac{16}{x-2}+12}

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