Problema 1140

Considera A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&1\\4&1&4\end{pmatrix},~B=\begin{pmatrix}a\\2a\\3a\end{pmatrix} y X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}.

a) Discute el sistema dado por AX=B, según los valores de a.
b) Para a=0, resuelve el sistema dado por AX=B. Calcula, si es posible, una solución en la que y+z=4.


Solución:

a) Dado el sistema de tres variables (n=3):

\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&1\\4&1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\2a\\3a\end{pmatrix}

lo discutimos utilizando el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos calculando el rango de la matriz de coeficientes por determinantes:

\begin{vmatrix}1&1&1\\1&0&1\\4&1&4\end{vmatrix}=4+1-4-1=0

\begin{vmatrix}1&1\\1&0\end{vmatrix}=-1\neq0

Luego, el rango de la matriz de coeficientes es 2 para todo a.
Calculamos el rango de la matriz ampliada \begin{pmatrix}1&1&1&a\\1&0&1&2a\\4&1&4&3a\end{pmatrix}:

\begin{vmatrix}1&1&a\\1&0&2a\\4&1&3a\end{vmatrix}=8a+a-3a-2a=4a=0~;\\\\a=0

Luego:

  • Si a\neq0, entonces rg(A*)=3 y el sistema es incompatible.
  • Si a=0, entonces rg(A*)=2 y el sistema es compatible indeterminado ya que n=3.

b) Si a=0, el sistema es:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=0\\x+z&=0\\4x+y+4z&=0\end{array}\right.

que es equivalente al sistema:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=0\\x+z&=0\end{array}\right.

Para resolverlo parametrizamos z=\lambda:

\left\{\begin{array}{rl}x+y&=-\lambda\\x&=-\lambda\end{array}\right.

Tenemos así la solución del sistema:

\left\{\begin{array}{l}x=-\lambda\\y=0\\z=\lambda\end{array}\right.

Nos piden además la solución que además verifique la ecuación y+z=4:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=0\\x+z&=0\\y+z&=4\end{array}\right.

Siendo la matriz de coeficientes de este sistema \begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}, calculamos su determinante:

\begin{vmatrix}1&1&1\\1&0&1\\0&1&1\end{vmatrix}=1-1-1=-1

De este resultado deducimos que el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}0&1&1\\0&0&1\\4&1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&0&1\\0&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{4}{-1}=-4

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&0&1\\1&0&1\\0&4&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&0&1\\0&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{0}{-1}=0

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&0\\1&0&0\\0&1&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&0&1\\0&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{-4}{-1}=4

And-MII-O-20-E7

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