Problema 1141

Se considera el punto A(1,-2,0) y la recta r\equiv\left\{\begin{array}{l}x+y=0\\y-3z+2=0\end{array}\right.

a) Calcula la ecuación del plano que pasa por A y es perpendicular a r.
b) Calcula la ecuación del plano que pasa por A y contiene a r.


Solución:

a) Calculamos el vector director de r:

\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&1&0\\0&1&-3\end{vmatrix}=-3\vec\imath+3\vec\jmath+\vec k=(-3,3,1)

Un plano perpendicular a r tiene la forma:

-3x+3y+z+D=0

Imponemos que este plano pase por A(1,-2,0):

-3\cdot1+3\cdot(-2)+0+D=0~;\\\\-3-6+D=0~;\\\\D=9

El plano buscado es:

\boxed{-3x+3y+z+9=0}


b) Calculamos el haz de planos de eje r:

k\cdot(x+y)+(y-3z+2)=0

Sustituimos las coordenadas de A(1,-2,0) y resolvemos:

k(1-2)+(-2-0+2)=0~;\\\\-k=0~;\\\\k=0

Sustituimos:

0\cdot(x+y)+(y-3z+2)=0

El plano que pasa por A y contiene a r es:

\boxed{y-3z+2=0}

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