Problema 1142

Trazamos la recta tangente a la función f(x)=\dfrac1{x^2}+1 por un punto P=(a,f(a)) del primer cuadrante. Esta recta junto con los ejes de coordenadas forman un triángulo.

p1142

a) Compruebe que el área de este triángulo, en función de a, viene dada por la función

g(a)=\dfrac{(a^2+3)^2}{4a}.

b) ¿En qué punto P el área del triángulo es mínimo? Calcula dicho valor mínimo.


Solución:

a) La ecuación de la recta tangente a f en el punto x=a es:

\boxed{y=f'(a)(x-a)+f(a)}

Dado que f(x)=\dfrac1{x^2}+1 entonces:

f(a)=\dfrac1{a^2}+1

Derivando obtenemos:

f'(x)=\dfrac{-2}{x^3}

de donde:

f'(a)=\dfrac{-2}{a^3}

La ecuación de la recta tangente es:

y=\dfrac{-2}{a^3}(x-a)+\dfrac1{a^2}+1~;\\\\y=\dfrac{-2x}{a^3}+\dfrac2{a^2}+\dfrac1{a^2}+\dfrac{a^2}{a^2}~;\\\\\boxed{y=\dfrac{-2x}{a^3}+\dfrac{3+a^2}{a^2}}

p1142b

Calculamos el punto donde esta recta corta al eje x (y=0):

0=\dfrac{-2x}{a^3}+\dfrac{3+a^2}{a^2}~;\\\\0=\dfrac{-2x+a(3+a^2)}{a^3}~;\\\\2x=a(3+a^2)~;\\\\x=\dfrac{a(3+a^2)}2

Calculamos el punto donde la recta tangente corta al eje y (x=0):

y=\dfrac{3+a^2}{a^2}

El área g del triángulo rectángulo formado por los ejes de coordenadas y la recta tangente es igual al producto de los catetos dividido por 2:

g=\dfrac12\cdot x\cdot y~;\\\\g=\dfrac12\cdot\dfrac{a(3+a^2)}2\cdot\dfrac{3+a^2}{a^2}=\dfrac{a(3+a^2)^2}{4a^2}~;\\\\\boxed{g(a)=\dfrac{(a^2+3)^2}{4a}}


b) Para minimizar el área g comenzamos calculando sus puntos críticos:

g'(a)=\dfrac{2(a^2+3)\cdot2a\cdot4a-(a^2+3)^2\cdot4}{16a^2}=0~;\\\\16a^2(a^2+3)-4(a^2+3)^2=0~;\\\\4(a^2+3)(4a^2-(a^2+3))=0~;\\\\4(a^2+3)(3a^2-3)=0

  • a^2+3=0 no tiene solución real.
  • 3a^2-3=0\rightarrow a=\pm1

La solución que pertenece al primer cuadrante es a=1.
Estudiamos la monotonía de g para comprobar que se trata de un mínimo:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline a&(0,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }g'(a)&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }g(a)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

Luego, g alcanza un mínimo para a=1.
El valor del área es:

g(1)=\dfrac{(1^2+3)^2}{4\cdot1}=\boxed{4\text{ u.a.}}

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