Problema 1143

Considera el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que depende del parámetro real k:

\left\{\begin{array}{rl}5x+y+4z&=19\\kx+2y+8z&=28\\5x+y-kz&=23+k\end{array}\right.

a) Discute el sistema para los diferentes valores del parámetro k.
b) Resuelve, si es posible, el sistema para el caso k=0.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Escribimos el sistema en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}5&1&4\\k&2&8\\5&1&-k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19\\28\\23+k\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M:

\begin{vmatrix}5&1&4\\k&2&8\\5&1&-k\end{vmatrix}=-10k+40+4k-40+k^2-40=k^2-6k-40=0

ecuación de segundo grado cuyas soluciones son k=10, k=-4.

  • Si k\neq10\text{ y }k\neq-4, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si k=10, entonces M=\begin{pmatrix}5&1&4\\10&2&8\\5&1&-10\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}2&8\\1&-10\end{vmatrix}=-20-8\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}1&4&19\\2&8&28\\1&-10&33\end{vmatrix}=264+112-380-152-264+280=-140\neq0
    Luego rg(M*)=3 y el sistema es incompatible.
  • Si k=-4, entonces M=\begin{pmatrix}5&1&4\\-4&2&8\\5&1&4\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}5&1\\-4&2\end{vmatrix}=10+4\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}5&1&19\\-4&2&28\\5&1&19\end{vmatrix}=0
    Luego, rg(M*)=2 y el sistema es compatible indeterminado.

b) En el caso k=0 el sistema es compatible determinado:

\begin{pmatrix}5&1&4\\0&2&8\\5&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19\\28\\23\end{pmatrix}

Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}19&1&4\\28&2&8\\23&1&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}5&1&4\\0&2&8\\5&1&0\end{vmatrix}}=\dfrac{184+112-184-152}{0^2-6\cdot0-40}=\dfrac{-40}{-40}=1

y=\dfrac{\begin{vmatrix}5&19&4\\0&28&8\\5&23&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}5&1&4\\0&2&8\\5&1&0\end{vmatrix}}=\dfrac{760-560-920}{-40}=\dfrac{-720}{-40}=18

z=\dfrac{\begin{vmatrix}5&1&19\\0&2&28\\5&1&23\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}5&1&4\\0&2&8\\5&1&0\end{vmatrix}}=\dfrac{230+140-190-140}{-40}=\dfrac{40}{-40}=-1

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s