Problema 1144

a) Calcular la ecuación general del plano π que pasa por el punto (8,8,8) y tiene como vectores directores \vec u=(1,2,-3)\text{ y }\vec v=(-1,0,3).

b) Determinar el valor del parámetro a para que el punto (1,-5,a) pertenezca al plano π y calcular la ecuación paramétrica de la recta que pasa por este punto y es perpendicular al plano π.


Solución:

a) La ecuación general es:

\begin{vmatrix}x-8&y-8&z-8\\1&2&-3\\-1&0&3\end{vmatrix}=(x-8)(6)+(y-8)(3-3)+(z-8)(2)=\\\\=6x-48+2z-16=0~;\\\\6x+2z-64=0~;\\\\\boxed{\pi:~3x+z-32=0}


b) Si el punto pertenece al plano entonces las coordenadas del punto satisfacen la ecuación general del plano:

3\cdot1+a-32=0~;\\\\\boxed{a=29}


Una recta perpendicular a π tiene por vector director el vector normal del plano:

\vec v=(3,0,1)

Si esa recta pasa por el punto (1,-5,29) entonces las ecuaciones paramétricas de la recta son:

\left\{\begin{array}{l}x=1+3\lambda\\y=-5\\z=29+\lambda\end{array}\right.

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