Problema 1145

Considerar la función f(x)=\dfrac{ax^2+b}x, donde a y b son dos parámetros reales. Calcular los valores de a y b de manera que la función f tenga una asíntota oblicua de pendiente 1 y un mínimo en el punto de la gráfica de abscisa x=2.


Solución:

La ecuación de la asíntota oblicua es y=mx+n, donde

\displaystyle\bullet~m=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{f(x)}x\\\\\bullet~n=\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)-mx

La pendiente m de la asíntota ha de ser 1:

\displaystyle1=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{ax^2+b}{x^2}=\lim_{x\rightarrow\infty}a+\dfrac b{x^2}=a+0=a

de donde obtenemos a=1.

También se dice que f presenta un mínimo en x=2, luego, f'(2)=0. Sabiendo que a=1:

f(x)=\dfrac{x^2+b}x\\\\f'(x)=\dfrac{2x\cdot x-(x^2+b)}{x^2}=\dfrac{x^2-b}{x^2}\\\\\rightarrow f'(2)=\dfrac{4-b}4=0

de donde obtenemos b=4.

Cat-MII-O-20-4A

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