Problema 1146

Sea la matriz A=\begin{pmatrix}1&1\\-3&-4\end{pmatrix}.

a) Encontrar la matriz X que satisface la ecuación AX=I-3X, donde I es la matriz identidad de orden 2.
b) Comprobar que la matriz X es invertible y calcularla.


Solución:

a) Despejamos la matriz X de la ecuación:

AX=I-3X~;\\\\AX+3X=I~;\\\\(A+3I)X=I~;\\\\X=(A+3I)^{-1}

Calculamos A+3I:

A+3I=\begin{pmatrix}1&1\\-3&-4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&1\\-3&-1\end{pmatrix}

y ahora su inversa utilizando la fórmula:

\boxed{(A+3I)^{-1}=\dfrac1{|A+3I|}\cdot(\text{Adj}(A+3I))^t}

|A+3I|=\begin{vmatrix}4&1\\-3&-1\end{vmatrix}=-4+3=-1

\text{Adj}(A+3I)=\begin{pmatrix}-1&3\\-1&4\end{pmatrix}

Luego:

X=(A+3I)^{-1}=\dfrac1{-1}\cdot\begin{pmatrix}-1&-1\\3&4\end{pmatrix}~;\\\\\boxed{X=\begin{pmatrix}1&1\\-3&-4\end{pmatrix}}


b) Una matriz es invertible si su determinante es distinto de 0:

|X|=\begin{vmatrix}1&1\\-3&-4\end{vmatrix}=-4+3=-1\neq0

Luego X es invertible. Dado que X=(A+3I)^{-1}, entonces:

X^{-1}=\Big((A+3I)^{-1}\Big)^{-1}=A+3I~;\\\\\boxed{X^{-1}=\begin{pmatrix}4&1\\-3&-1\end{pmatrix}}

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