Problema 1147

Considerar la función f(x)=x^3.

a) Calcular en qué punto del tercer cuadrante la recta tangente a f es paralela a la recta 3x-y=4. Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica en este punto y hacer un dibujo aproximado de la gráfica de la función y de las dos rectas.
b) Calcular el área de la región delimitada por f y la recta y=3x+2.


Solución:

a) La recta 3x-y=4 tiene pendiente 3. Dado que la pendiente de la recta tangente a f es igual a f'(x_0), por ser ambas rectas paralelas se tiene:

f'(x_0)=3

f'(x)=3x^2\\\\f'(x_0)=3x_0^2=3~;\\\\x_0^2=1~;\\\\x_0=\pm1

El resultado x_0=1 no pertenece al tercer cuadrante y lo descartamos. Calculamos, por tanto, la ecuación de la recta tangente a f en el punto x_0=-1.

\boxed{rt:~y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}

f(-1)=(-1)^3=-1

El punto (-1,-1) pertenece al tercer cuadrante, y en este punto, la recta tangente a f es paralela a la recta 3x-y=4. La recta tangente es:

y=3(x-(-1))+(-1)~;\\\\\boxed{y=3x+2}

La función y=x^3 es una función polinómica elemental creciente en todo su dominio salvo en x=0, cóncava si x<0 y convexa si x>0, sin asíntotas y punto de inflexión  en (0,0). Pasa por los puntos (-1,-1) y (1,1).
La recta 3x-y=4 es una recta creciente de pendiente 3 que pasa por el punto (0,-4) y (\frac43,0).
La recta y=3x+2 es tangente a f en (-1,-1) y pasa por el punto (0,2).

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b) Nos piden calcular el área S encerrada entre la función y=x^3 y la recta tangente y=3x+3. Comenzamos calculando donde se cortan ambas:

x^3=3x+2~;\\\\x^3-3x-2=0

Ecuación de tercer grado cuyas soluciones son x=-1 y x=2, luego:

\displaystyle S=\int_{-1}^2(3x+2)-(x^3)~dx=\left[\dfrac{3x^2}2+2x-\dfrac{x^4}4\right]_{-1}^2=\\\\=(6+4-4)-\left(\dfrac32-2-\dfrac14\right)=6-\dfrac{-3}4=\boxed{\dfrac{27}4\text{ u.a.}}

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